Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+π）=-f（x），且當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，有（x-

π

2

）f（x）＞0，則函數y=f（x）+2sinx在x∈[-2π，2π]時的零點個數是（　　）

• A、2
• B、4
• C、6
• D、8

Answer 1

考點：函數的周期性,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：由已知易得函數的周期性和單調性，作出f（x）和y=-2sinx在[-2π，2π]的圖象可得結論．

解答： 解：定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x+π）=-f（x），
∴函數f（x）的周期T=π，
又當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，有（x-

π

2

）f（x）＞0，
∴函數f（x）在（0，

π

2

）單調遞減，在（

π

2

，π）單調遞增，
作出f（x）和y=-2sinx在[-2π，2π]的圖象，
由圖象可得函數的交點為4個，即函數y=f（x）+2sinx有4個零點，
故選：B．

點評：本題考查函數的零點，涉及函數的周期性和對稱性，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．