A是圓O：x2+y2=16上的任意一點，過點A作y軸的垂線，與y軸交于B點，點P滿足
AP
=
1
3
PB
，則當(dāng)點A在圓O上運(yùn)動時，點P的軌跡方程為
x2
9
+
y2
16
=1
x2
9
+
y2
16
=1
；|
AP
|的最大值為
1
1
．
分析：確定A，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用A是圓O：x2+y2=16上的任意一點，即可求得點P的軌跡方程，根據(jù)橢圓、圓的對稱性，即可求得|
AP
|的最大值．
解答：解：設(shè)P（x，y），A（a，b），則
∵過點A作y軸的垂線，與y軸交于B點，點P滿足
AP
=
1
3
PB
，
∵a=
4x
3
，b=y
∵A是圓O：x2+y2=16上的任意一點，
∴
16x2
9
+y2=16
∴
x2
9
+
y2
16
=1
∴橢圓的頂點坐標(biāo)為（±3，0），（0，±4）
∵A到圓心O的距離為4，
∴|
AP
|的最大值為4-3=1
故答案為：
x2
9
+
y2
16
=1，1．
點評：本題考查軌跡方程，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是圓O：x2+y2=1上的三點，
OA
+
OB
=
OC
，
AB
•
OA
=（　�。�
A、
3
2
B、-
3
2
C、-
3
2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點和左焦點，點P是圓O：x2+y2=b2上的動點．若
PA
PF
是常數(shù)，則橢圓C的離心率是
5
-1
2
5
-1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•南京二模）已知A（x1，yl），B（x2，y2）是圓O：x2+y2=2上兩點，且∠AOB=120°，則x1x2+y1y2=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圓O：x2+y2=1上的兩個動點，且M、N關(guān)于x軸對稱，直線AM與BN交于P點．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設(shè)動直線l：y=k（x+
3
2
）與曲線C交于S、T兩點．求證：無論k為何值時，以動弦ST為直徑的圓總與定直線x=-
1
2
相切．

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