Question

（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）

已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若在處取得最小值，記此極小值為，求的定義域和值域。

Answer 1

解析: （Ⅰ）.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

所以，于是    

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

（）當(dāng)c  12時(shí)，，此時(shí)無極值。   

（ii）當(dāng)c<12時(shí)，有兩個(gè)互異實(shí)根,.不妨設(shè)＜，則＜2＜.

當(dāng)x＜時(shí)，， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；   

當(dāng)＜x＜時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).   

所以在處取極大值，在處取極小值.

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以.

于是的定義域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090629/20090629144855024.gif' width=51>.由 得.

于是    .

當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090629/20090629144856030.gif' width=52>