Question

已知ω是正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]內(nèi)有且僅有2個零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)函數(shù)y=f（x）第2個和第3個零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間[0，a]內(nèi)有且僅有2個零點(diǎn)，即可求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4cosωx•sin（ωx+

π

4

）=4cosωx•[

2

2

（sinωx+cosωx）
=2

2

sinωxcosωx+2

2

cos²ωx=

2

（sin2ωx+1+cos2ωx）=2sin（2ωx+

π

4

）+

2

，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期是π．
∴T=

2π

2ω

=π，即ω=1；
（Ⅱ）當(dāng)ω=1時，f（x）=2sin（2x+

π

4

）+

2

，
當(dāng)x=0時，f（0）=2

2

，
由f（x）=2sin（2x+

π

4

）+

2

=0，
即sin（2x+

π

4

）=-

2

2

，
當(dāng)x＞0時，2x+

π

4

=

5π

4

，2x+

π

4

=

7π

4

，2x+

π

4

=

5π

4

+2π，…，
則x=

π

2

，或x=

3π

4

，或x=

3π

2

，
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，a]內(nèi)有且僅有2個零點(diǎn)，
則

3π

4

≤a＜

3π

2

，
求正實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

3π

4

，

3π

2

）．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．