已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四邊形ABCD的面積.

   

思路分析:本題主要考查三角函數(shù)的基礎知識、余弦定理以及三角形的面積公式等.四邊形為圓內接四邊形,故四邊形的對角互補,從而可知sinA=sinC,再結合四邊形的四邊已知,易求出四邊形的兩條對角線,從而求出其面積.

解:如圖所示,連結BD,設四邊形ABCD的面積為S,則

S=S△ABD+S△CBD

=AB·AD·sinA+BC·CD·sinC.

    又sinA=sinC(∵A、C互補),

∴S=(2×4+6×4)sinA=16sinA.

    又∵BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA

=BC2+CD2-2BC·CD·cosC,

    且cosA=-cosC(∵A、C互補),

∴64cosA=-32,即cosA=-.

    又∵0°＜A＜180°,

∴A=120°,即sinA=,

∴S=16sinA=8.

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