Question

已知函數(shù)f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x³－x²－x－1.

(1)如果存在x₁，x₂∈[0,2]，使得g(x₁)－g(x₂)≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；

(2)如果對任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

 (1)存在x₁，x₂∈[0,2]，使得g(x₁)－g(x₂)≥M⇔x₁，x₂∈[0,2]，[g(x₁)－g(x₂)]_max≥M.

∵g′(x)＝3x²－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，

∴當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)1<x<2時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

∴g(x)_max＝max{g(0)，g(2)}＝g(2)＝1，g(x)_min＝g(1)＝－2，

∴[g(x₁)－g(x₂)]_max＝g(x)_max－g(x)_min＝3，滿足不等式的最大整數(shù)M＝3.

(2)由(1)知，當(dāng)x∈[，2]時(shí)，g(x)_max＝g(2)＝1，依題意，對任意的s，t∈[，2]都有f(s)≥g(t)成立⇔當(dāng)x∈[，2]時(shí)，f(x)＝＋xlnx≥1恒成立．

則有f(1)＝≥1，∴a≥2.

當(dāng)a≥2且x∈[，2]時(shí)，f(x)＝＋xlnx≥＋xlnx.

記h(x)＝＋xlnx，∴h′(x)＝－＋lnx＋1，且h′(1)＝0.

當(dāng)x∈(，1)時(shí)，h′(x)＝－＋lnx＋1<0，

當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，h′(x)＝－＋lnx＋1>0，

∴h(x)＝＋xlnx在(，1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，

∴h(x)_min＝h(1)＝1，即h(x)≥1，

∴當(dāng)a≥2時(shí)原不等式成立．

∴a的取值范圍是[2，＋∞)．