Question

2014年我國公布了新的高考改革方案，在招生錄取制度改革方面，普通高校逐步推行基于統(tǒng)一高考和高中學業(yè)水平考試成績的綜合評價、多元錄取機制，普通高校招生錄取將參考考生的高中學業(yè)水平考試成績和職業(yè)傾向性測試成績．為了解公眾對“改革方案”的態(tài)度，隨機抽查了50人，將調查情況進行整理后制成下表：

年齡	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75]
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5

（I）完成被調查人員的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若年齡在[15，25），[55，65）的被調查者中贊成人數(shù)分別為4人和3人，現(xiàn)從這兩組的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的4人中不贊成“改革方案”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：

分析：（Ⅰ）求出各組的頻率，從而得到圖中各組的縱坐標，由此能作出被調查人員的頻率分布直方圖．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）各組的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
∴圖中各組的縱坐標分別是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
由此作出被調查人員的頻率分布直方圖如右圖所示．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=

C 2 4 C 2 3

C 2 5 C 2 5

=

18

100

，
P（X=1）=

C 1 1 C 1 4 • C 2 3 + C 2 4 C 1 2 C 1 3

C 2 5 C 2 5

=

48

100

，
P（X=2）=CC

C 1 1 C 1 4 C 1 3 C 1 2 + C 2 4 C 2 2

C 2 5 C 2 5

=

30

100

，
P（X=3）=

C 1 1 C 1 4 C 2 2

C 2 5 C 2 5

=

4

100

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	18 100	48 100	30 100	4 100

∴X的數(shù)學期望為EX=0×

18

100

+1×

48

100

+2×

30

100

+3×

4

100

=

6

5

．

點評：本題考查隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖和排列組合知識的合理運用．