已知銳角△ABC中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，定義向量
m
=(2sinB，
3
)，
n
=(2cos2
B
2
-1，cos2B)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）如果b=4，求△ABC的面積的最大值．
分析：（Ⅰ）由
m
⊥
n
，得
m
•
n
=0，即（2sinB，
3
）•（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得B值；
（Ⅱ）利用余弦定理可得16=a2+c2-ac，利用基本不等式可得ac的最大值，從而可得△ABC的面積的最大值；
解答：解：（Ⅰ）
n
=(cosB，cos2B)，
因?yàn)?span id="jwsebgb" class="MathJye">
m
⊥
n
，所以
m
•
n
=0，即（2sinB，
3
）•（cosB，cos2B）=0，
所以2sinBcosB+
3
cos2B=sin2B+
3
cos2B=2sin（2B+60°）=0，
又△ABC為銳角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；
（Ⅱ）由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos60°，即16=a2+c2-ac，
則16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，
所以△ABC的面積S△ABC=
1
2
acsin60°=
3
4
ac≤
3
4
×16=4
3
，
所以△ABC的面積的最大值是4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、兩角和與差的正弦函數(shù)，考查基本不等式求函數(shù)最值．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，定義向量
m
=(2sinB，-
3
)，
n
=(cos2B，2cos2
B
2
-1)且
m
∥
n
．
（1）求函數(shù)f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果b=2，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）設(shè)
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求證：△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)向量
s
=（2sinC，-
3
），
t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且
s
∥
t
，若sinA=
2
3
，求sin（
π
3
-B）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•許昌三模）已知向量
a
=(
1
2
，
1
2
sinx+
3
2
cosx)與 
b
=(1，y)共線，設(shè)函數(shù)y=f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及最大值；
（2）已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C，若有f(A-
π
3
)=
3
，邊BC=
7
，sinB=
21
7
，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C．
（1）設(shè)
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，求證△ABC是等腰三角形；
（2）設(shè)向量
s
=(2sinC，-
3
)，
t
=(cos2C，2cos2
C
2
-1)，且
s
∥
t
，若sinA=
12
13
，求sin(
π
3
-B)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•煙臺(tái)二模）已知銳角△ABC中的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，定義向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=(2cos2
B
2
-1，cos2B)，且
m
⊥
n
，
（1）求f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果b=4，求△ABC面積的最大值．

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