Question

已知共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，記它們其中的一個交點(diǎn)為P，且∠F₁PF₂=120°，則該橢圓離心率e₁與雙曲線離心率e₂必定滿足的關(guān)系式為（　�。�

• A、

  1

  4

  e1+

  3

  4

  e2=1
• B、

  3

  4

  e12 +

  1

  4

  e22=1
• C、

  3

  4e12

  +

  1

  4e22

  =1
• D、

  1

  4e12

  +

  3

  4e22

   =1

Answer 1

分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到結(jié)論

解答：解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2m  ①
由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=2a  ②
又∠F₁PF₂=120⁰，故|PF₁|²+|PF₂|²+|PF₁||PF₂|=4c²   ③
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2a²+2m²④
-①²+②²得|PF₁||PF₂|=a²-m²⑤
將④⑤代入③得3a²+m²=4c²，即

3

4× c2 a2

+

1

4× c2 m2

=1，即

3

4e12

+

1

4e22

=1
故選C

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用余弦定理建立三個方程聯(lián)立求橢圓離心率e₁與雙曲線心率e₂滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．