Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，a_n-1=a_n（a_n+1-1），b_n=a_n-1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=b_2n-1b_2n+1，求使得對(duì)一切n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n和為S_n，T_n=S_2n-S_n，試比較T_n+1與T_n的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=a_n-1得a_n=b_n+1代入a_n-1=a_n（a_n+1-1）得b_n=（b_n+1）b_n+1，所以b_n-b_n+1=b_nb_n+1，從而得，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=b_2n-1b_2n+1=，知=c₁+c₂+…+c_n=，要使對(duì)一切n∈N^*都成立，必須并且只須滿足≤，由此能求出滿足要求的最小正整數(shù)m．
（3）由，知T_n=S_2n-S_n=．由此利用作差法能夠比較T_n+1與T_n的大�。�
解答：解：（1）由b_n=a_n-1，
得a_n=b_n+1，
代入a_n-1=a_n（a_n+1-1），
得b_n=（b_n+1）b_n+1，
整理得b_n-b_n+1=b_nb_n+1，---（2分）
∵b_n≠0否則a_n=1，與a₁=2矛盾，
從而得，-（4分）
∵b₁=a₁-1=1，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
∴，
即．-（5分）
（2）∵c_n=b_2n-1b_2n+1=
=--（6分）
∴=c₁+c₂+…+c_n
=
=--（8分）
∴要使對(duì)一切n∈N^*都成立，
必須并且只須滿足≤，即m≥5，
∴滿足要求的最小正整數(shù)m為5．--（10分）
（3）∵
∴T_n=S_2n-S_n=
=--（12分）
又∵
==
∴T_n+1＞T_n．----（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題首先考查等差數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意作差法在比較大小中的靈活運(yùn)用．