Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=且對任意非零自然數(shù)n都有a_n+1=a_n+（）ⁿ⁺¹．?dāng)?shù)列{b_n}對任意非零自然數(shù)n都有b_n=a_n+1-a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比數(shù)列的定義找尋數(shù)列中相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出數(shù)列的等比性是解決本題的關(guān)鍵，要用好數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系．
（2）利用數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，先寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出數(shù)列{a_n}與{b_n}的關(guān)系，進(jìn)而寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）證明：b_n=a_n+1-a_n=[a_n+（）ⁿ⁺¹]-a_n=（）ⁿ⁺¹-a_n，b_n+1=（）ⁿ⁺²-a_n+1=（）ⁿ⁺²-[a_n+（）ⁿ⁺¹]=•（）ⁿ⁺¹-a_n-•（）ⁿ⁺¹=•（）ⁿ⁺¹-a_n=•[（）ⁿ⁺¹-a_n]，
∴=（n=1，2，3，…）．
∴{b_n}是公比為的等比數(shù)列．
（2）解：∵b₁=（）²-a₁=-•=，
∴b_n=•（）^n-1=（）ⁿ⁺¹．
由b_n=（）ⁿ⁺¹-a_n，得（）ⁿ⁺¹=（）ⁿ⁺¹-a_n，解得a_n=6[（）ⁿ⁺¹-（）ⁿ⁺¹]．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的判定，利用相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系確定出后一項(xiàng)與這一項(xiàng)的商為常數(shù)，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算化簡能力．