Question

例4、已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，在[1，4]上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5．
①證明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)以5為周期的性質(zhì)知：f（4）=f（4-5）=f（-1），在根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)知f（1）=-f（-1）=-f（4）即證
②根據(jù)二次函數(shù)的特點利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)的解析式f（x）=a（x-2）²-5（a＞0），將①的結(jié)論代入即可求解
③根據(jù)函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)．知f（0）=0，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)解析式為：f（x）=kx（-1≤x≤1）得到函數(shù)y=f（x）=-3x（-1≤x≤1），在利用函數(shù)的周期性即可求解

解答：解：①∵f（x）是以5為周期的周期函數(shù)
∴f（4）=f（4-5）=f（-1）
∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)
∴f（1）=-f（-1）=-f（4）
∴f（1）+f（4）=0．
    ②當(dāng)x∈[1，4]時，由題意可設(shè)f（x）=a（x-2）²-5（a＞0）
    由f（1）+f（4）=0得a（1-2）²-5+a（4-2）²-5=0
∴a=2
∴f（x）=2（x-2）²-5（1≤x≤4）
   ③∵y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)
∴f（0）=0
∵y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)
∴可設(shè)f（x）=kx（0≤x≤1），而f（1）=2（1-2）²-5=-3
∴k=-3
∴當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=-3x
     從而當(dāng)-1≤x＜0時，f（x）=-f（-x）=-3x
     故-1≤x≤1時，f（x）=-3x
∴當(dāng)4≤x≤6時，有-1≤x-5≤1
∴f（x）=f（x-5）=-3（x-5）=-3x+15
    當(dāng)6＜x≤9時，1＜x-5≤4，
∴f（x）=f（x-5）=2[（x-5）-2]²-5=2（x-7）²-5
∴f(x)=

-3x+15  4≤x≤6 2(x-7)2-5  6＜x≤9

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性、奇偶性，函數(shù)解析式的求解及常用方法，屬于基礎(chǔ)題．