空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是邊AB、CD的中點，求證：
（1）MN為AB和CD的公垂線；     
（2）求MN的長；
（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值．
考點：異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：（1）如圖所示，連接DM，CM．利用等腰三角形的性質(zhì)和線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可證AB⊥MN，CD⊥MN．即MN為AB和CD的公垂線．
（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，利用勾股定理可得CM=
AC2-AM2
，在Rt△CMN中，同理可得MN=
CM2-CN2
即可．
（3）由于
CA
=
CM
+
MN
+
NA
，利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．
解答： 證明：（1）如圖所示，連接DM，CM．
∵空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是邊AB、CD的中點，
∴CM⊥AB，DM⊥AB，CM∩DM=M，
∴AB⊥平面CMD，
∴AB⊥MN．
同理可證：CD⊥MN．
∴MN為AB和CD的公垂線．
（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，CM=
AC2-AM2
=
a2-(
1
2
a)2
=
3
2
a．
在Rt△CMN中，MN=
CM2-CN2
=
3a2
4
-(
1
2
a)2
=
2
2
a．
（3）設異面直線AN與CM所成角為θ．
cos＜
CM
，
MN
＞=-
MN
CM
=-
2
2
a
3
2
a
=-
2
3
=cos＜
MN
，
NA
＞．
∵
CA
=
CM
+
MN
+
NA
，
∴
CA
2=
CM
2+
MN
2+
NA
2+2
CM
•
MN
+2
MN
•
NA
+2
CM
•
NA
，
∴a2=
3a2
4
+
2a2
4
+
3a2
4
+2×
3
2
a×
2
2
a•(-
2
3
)×2+2×
3
2
a×
3
2
a×cos＜
CM
，
NA
＞，
解得cos＜
CM
，
NA
＞=
2
3
，
∴cosθ=
2
3
．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理、異面直線的公垂線、勾股定理、數(shù)量積的性質(zhì)、異面直線所成的夾角等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
，則△ABC是（　　）
A、直角三角形
B、鈍角三角形
C、等腰直角三角形
D、等邊三角形

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，AT切⊙O于T，若AT=2
6
，AE=3，AD=4，DE=2，則BC等于（　　）
A、3B、4C、6D、8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當0≤x＜2時，f（x）=x3-x，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為（　�。�
A、6B、7C、8D、9

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展開式的二項式系數(shù)之和為32，且展開式中含x3項的系數(shù)為80．
（1）求m，n的值；
（2）求（1+mx）n（1-x）6展開式中含x2項的系數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

2013年11月12日中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第三次全體會議在北京召開，為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了16名男記者和14名女記者擔任對外翻譯工作，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女記者中分別有10人和6人會俄語．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：
  會俄語 不會俄語 總計
男
 
 
 
 
 
 
女
 
 
 
 
 
 
總計
 
 		  
 
 30
（2）回答能否在犯錯的概率不超過0.10的前提下認為性別與會俄語有關(guān)？
參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：
P（K2≥k0） 0.40 0.25 0.10 0.010
k0 0.708 1.323 2.706 6.635

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

觀察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=22×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5
…
照以上式子規(guī)律：
（1）寫出第4個等式，并猜想第n個等式；（n∈N*）
（2）用數(shù)學歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N*）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2
2
．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若∠BDC=45°，求直線BM與平面ABC所成角的余弦值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案