Question

已知，點(diǎn)A表示原點(diǎn)，點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量與向量的夾角，，設(shè)S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：由題可知：利用向量求和及向量夾角概念可得tanθ_n==，再利用數(shù)列裂項(xiàng)相消求和知識(shí)及極限運(yùn)算法則可得解．
解答：解：由向量求和知=，
又有，點(diǎn)A_n（n，f（n））（n∈N^*），
向量與向量的夾角為θ_n即線段AA_n與x軸夾角也為θ_n，
由此可知tanθ_n===，
又設(shè)S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，
由tanθ_n==（-）×，
利用數(shù)列裂項(xiàng)相消求和公式可得：
S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=×（1-+-+-+…+-+-）=×（1+--）．
∴Sn=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題是向量與極限結(jié)合的綜合題．
（1）要熟練掌握向量運(yùn)算的多邊形法則及向量夾角概念．
（2）對(duì)數(shù)列求和的裂項(xiàng)相消方法及極限運(yùn)算法則也要靈活掌握．以上兩點(diǎn)也是考試重點(diǎn)．