Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）滿足：最大值為2，相鄰兩個最低點之間距離為π，將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位長度，所得圖象關(guān)于點（

π

4

，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)α∈[0，

π

2

]且f（

α

2

-

π

12

）=

8

5

，求sin（2α+

π

12

）的值；
（Ⅲ）設(shè)向量

a

=（f（x-

π

6

），1），

b

=（1，mcosx），x∈（0，

π

2

），若

a

•

b

+3≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)的化簡求值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意求得A，T，進一步求得ω，由函數(shù)圖象的平移得到f（x）的解析式，結(jié)合圖象關(guān)于點(

π

4

，0)對稱求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）把f（

α

2

-

π

12

）=

8

5

代入函數(shù)解析式求得cos(α+

π

6

)=

4

5

，由平方關(guān)系求得sin(α+

π

6

)=

3

5

．展開倍角公式得sin（2α+

π

12

）的值；
（Ⅲ）求出向量的數(shù)量積，換元后利用“三個二次”的結(jié)合列式求得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，A=2，T=π，
∴f（x）=2cos（2x+φ），
將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位長度，可得：
函數(shù)f(x)=2cos[2(x-

π

6

)+φ]=2cos(2x+φ-

π

3

)，此時圖象關(guān)于點(

π

4

，0)對稱．
則2×

π

4

+φ-

π

3

=kπ+

π

2

，
∴φ=kπ+

π

3

，k∈Z，
∵|ϕ|≤

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f(x)=2cos(2x+

π

3

)；
（Ⅱ）∵f(

α

2

-

π

12

)=

8

5

(α∈[0，

π

2

])，
∴cos(α+

π

6

)=

4

5

，
又0＜α＜

π

2

，
∴

π

6

＜α+

π

6

＜

π

2

+

π

6

=

2π

3

，
∵sin(α+

π

6

)＞0，
∴sin(α+

π

6

)=

3

5

．
∴sin(2α+

π

3

)=2sin(α+

π

6

)cos(α+

π

6

)=2•

3

5

•

4

5

=

24

25

．
又∵cos(2α+

π

3

)=2cos2(α+

π

6

)-1=

7

25

．
∴sin(2a+

π

12

)=sin(2a+

π

3

-

π

4

)=sin(2a+

π

3

)cos

π

4

-cos(2a+

π

3

)sin

π

4

=

24

25

•

2

2

-

7

25

•

2

2

=

17

50

2

；
（Ⅲ）∵

a

=（f（x-

π

6

），1），

b

=（1，mcosx），x∈（0，

π

2

），
∴

a

•

b

+3=f(x-

π

6

)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos²x+mcosx+1．
令t=cosx，則0＜t＜1，原不等式可化為4t²+mt+1≥0對一切0＜t＜1恒成立，
設(shè)函數(shù)f（t）=4t²+mt+1，0＜t＜1，其圖象開口向上，
∵f（1）=4+m+1=5+m≥0時，對稱軸t=-

m

8

≤

5

8

＜1，
∴只需滿足△=m²-16≤0或

△＞0 - m 8 ＜0 f(1)＞0

，解得：-4≤m≤4或m＞4，
綜上，m的取值范圍是m≥-4．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了已知三角函數(shù)的值求另外三角函數(shù)的值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．