Question

已知橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁，F₂在y軸上，它的一個頂點(diǎn)為A(，0)，且中心O到直線AF₁的距離為焦距的，過點(diǎn)M(2,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N在線段PQ上．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求動點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1(a>b>0)．

由于橢圓的一個頂點(diǎn)是A(，0)，故b²＝2.

根據(jù)題意得，∠AF₁O＝，sin∠AF₁O＝，

即a＝2b，a²＝8，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.

(2)設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N(x，y)，

由題意知直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)．

直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y得：

(k²＋4)x²－4k²x＋4k²－8＝0.

由Δ＝16k²－4(k²＋4)(4k²－8)>0，得－2<k<2.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁＋x₂＝

又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，

即(2－x₁)(x₂－x)＝(x－x₁)(2－x₂)．

解得x＝1，代入直線l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)．

所以動點(diǎn)N的軌跡方程為x＝1，y∈(－2,2)．