Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-3，x∈[-2，3]．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，先求二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再判斷對(duì)稱軸是否在[-2，3]，然后求其值域；
（2）先求二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=-

2a-1

2

，由于函數(shù)f（x）在[-2，3]存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以-

2a-1

2

＞-2．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+3x-3，x∈[-2，3]，對(duì)稱軸x=-

3

2

∈[-2，3]，
∴f（x）_min=f（-

3

2

）=

9

4

-

9

2

-3=-

21

4

，f（x）_max=f（3）=15，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

21

4

，15）．…（6分）
（2）函數(shù) f（x）=x²+（2a-1）x-3的對(duì)稱軸為x=-

2a-1

2

．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-

2a-1

2

）單調(diào)遞減，在區(qū)間 （-

2a-1

2

，+∞）單調(diào)遞增．
又∵f（x）=x²+（2a-1）x-3，x∈[-2，3]存在單調(diào)遞減區(qū)間…（10分）
∴-

2a-1

2

＞-2  解得a＜

5

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸和值域以及二次函數(shù)的單調(diào)性．