Question

（本小題滿分分）
若函數(shù)在定義域內(nèi)某區(qū)間上是增函數(shù)，而在上是減函數(shù)，
則稱在上是“弱增函數(shù)”
（1）請分別判斷=，在是否是“弱增函數(shù)”，
并簡要說明理由;
（2）證明函數(shù)(是常數(shù)且)在上是“弱增函數(shù)”．

Answer 1

（1）=在上是“弱增函數(shù)”； 在上不是“弱增函數(shù)”（2）易證在上是增函數(shù)，再利用定義證明在上是減函數(shù)

解析試題分析：（1）=在上是“弱增函數(shù)”；
在上不是“弱增函數(shù)”；                           ……2分
理由如下：
顯然，=在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
∴=在上是“弱增函數(shù)”。                             ……4分
∵是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，
∴在上是增函數(shù)，
而在上是增函數(shù)，
∴在上不是“弱增函數(shù)”。                        ……6分
（2）證明：∵函數(shù)是開口向上的拋物線，對稱軸方程為，
∴函數(shù)(是常數(shù)且)在上是增函數(shù)；        ……8分
令，則，
對任意，得，，                      ……9分
∵
，                       ……12分
∴，從而在上是減函數(shù)，                ……13分
∴函數(shù)(是常數(shù)且)在上是“弱增函數(shù)”.  ……14分
考點：本小題主要考查新定義下函數(shù)的單調(diào)性的研究和證明，考查學生的推理能力和論證能力.
點評：判斷函數(shù)的單調(diào)性一是可以借助初等函數(shù)的單調(diào)性，再就是利用函數(shù)的單調(diào)性的定義來證明，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，要化到最簡.