Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx
（1）當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)a=0，b=-1時(shí)，方程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1 ）先求定義域，再求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．
（2）先把程2mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，再利用單調(diào)函數(shù)求解．

解答：解：（1）依題意，知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．（1分）
當(dāng) a=b=

1

2

時(shí)，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．（3分）
所以f（x）的極大值為 f(1)=-

3

4

，此即為最大值．（4分）
（2）因?yàn)榉匠?mf（x）=x²有唯一實(shí)數(shù)解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解．
設(shè)g（x）=x²-2mlnx-2mx，則 g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g′（x）=0，得x²-mx-m=0．
因?yàn)閙＞0，x＞0，
所以 x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m?

2

，（10分）
當(dāng)x∈（0，x₂）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=x2時(shí)，g′（x₂）=0g（x），g（x₂）取最小值g（x₂）．（11分）
因?yàn)間（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2mlnx2-2mx2=0 x22-mx2-m =0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，
因?yàn)閙＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0．（12分）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，所以h（x）=0至多有一解．（13分）
因?yàn)閔（I）=0，所以方程的解為（X₂）=1，即

m+ m2+4m

2

=1，
解得 m=

1

2

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、不等式、方程的解等基本知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，分類(lèi)與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．