Question

如圖所示，四邊形ADEF為平行四邊形，直線FB⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=FB=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：平面CDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取CD中點為G，連結EG，BG，由已知得ABGD為平行四邊形，BFEG為平行四邊形，從而EG⊥平面ABCD，由此能證明平面CDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以B為原點，分別以BC，BA，BF為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-DE-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取CD中點為G，連結EG，BG，
∵AB∥DG，且AB=DG，∴ABGD為平行四邊形，
∴BG∥AD，且BG=AD，
又在平行四邊形ADEF中，EF∥AD，且EF=AD，
∴BG∥FE，且BG=FE，
∴BFEG為平行四邊形，∴BF∥EG，且BF=EG，
∵FB⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，
又EC?平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：以B為原點，分別以BC，BA，BF為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得A（0，1，0），E（1，1，1），D（1，2，0），C（1，0，0），
則

DA

=（-1，-1，0），

DE

=（0，-1，1），
設

n

=（x，y，z）為平面ADE的一個法向量，
∴

n • DE =-y+z=0 n • DA =-x-y=0

，取y=1，得

n

=（-1，1，1），
由（Ⅰ）得BC⊥平面ECD，∴平面ECD的一個法向量為

BC

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

| n |•| BC |

=-

3

3

，
∵二面角A-DE-C的大小于＜

n

，

BC

＞互補，
∴二面角A-DE-C的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．