Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F到它的一條漸近線距離x滿足a≤x≤3a，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（　�。�

• A、（

  2，

  +∞）
• B、（1，

  10

  ）
• C、[2，

  10

  ）
• D、[

  2

  ，

  10

  ）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到一條漸近線的距離為

bc

b2+a2

=b，利用焦點F到它的一條漸近線距離x滿足a≤x≤3a，建立不等式，即可求出雙曲線的離心率的取值范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為（c，0），一條漸近線方程為bx+ay=0，
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到一條漸近線的距離為

bc

b2+a2

=b，
∵焦點F到它的一條漸近線距離x滿足a≤x≤3a，
∴a≤b≤3a，
∴1≤

b

a

≤3，
∵e=

1+( b a )2

，
∴

2

≤e≤

10

．
故選：D．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到一條漸近線的距離為

bc

b2+a2

=b是解題的關鍵．