Question

直線l∶y＝kx＋1與雙曲線C∶2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點A、B． (1) 求實數(shù)k的取值范圍 (2) 是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解：將直線l的方程y＝kx＋1代入雙曲線C的方程2x2－y2＝1后．整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0．　　　　　　　�、� 　　依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點 　　解得k的取值范圍為－2＜k＜－ 　　分析：聯(lián)立直線與雙曲線的方程，然后利用判別式

(2)

解：設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1，)、(x2，y2)，則由①得x1＋x2＝　　② 　　假設(shè)存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F(c，0)，則有FA⊥FB． 　　∴(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0， 　　即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0． 　　整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0．　�、� 　　把②式及c＝代入③式化簡得5k2＋－6＝0． 　　解得k＝或k＝(－2，－)(舍去)． 　　可知k＝使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點． 　　分析：假設(shè)存在，則有FA⊥FB 　　點評：本題考查探索性在解析幾何中的應(yīng)用．這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立．解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理， 若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．其中反證法在解題中起著重要的作用．