已知f(x)=-sin2x+m(2cosx-1),x∈[-
π
3
3
]

(1)如函數(shù)f(x)的最小值為g(m),求函數(shù)g(m)的解析式;
(2)當(dāng)g(m)=-1時(shí),求實(shí)數(shù)m的值;
(3)在(2)的條件下求函數(shù)f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值.
分析:(1)由于f(x)=cos2x+2mcosx-m-1=(cosx+m)2-m2-m-1,令t=cosx(-1≤t≤1),對(duì)h(t)=(t+m)2-m2-m-1的對(duì)稱軸方程t=-m的范圍分類討論,利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì),即可求得函數(shù)g(m)的解析式;
(2)根據(jù)(1)中函數(shù)g(m)的解析式,可求得當(dāng)g(m)=-1時(shí),實(shí)數(shù)m的值;
(3)對(duì)(2)中求得的m=-1與m=0分別代入f(x)=cos2x+2mcosx-m-1,x∈[-
π
3
,
3
],利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性即可求得函數(shù)f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值.
解答:(1)∵f(x)=cos2x+2mcosx-m-1=(cosx+m)2-m2-m-1,
令t=cosx(-1≤t≤1),
則h(t)=(t+m)2-m2-m-1,其對(duì)稱軸方程為t=-m,
∴當(dāng)m≤-1時(shí),-m≥1,h(t)在[-1,1]上單調(diào)遞減,
∴h(t)min=h(1)=m,即g(m)=m(m≤-1);
當(dāng)-1<m<
1
2
時(shí),同理可得g(m)=h(-m)=--m2-m-1;
當(dāng)m≥
1
2
時(shí),g(m)=h(-
1
2
)=-2m-
3
4

∴g(m)=
m,m≤-1
-m2-m-1,-1<m<
1
2
-2m-
3
4
,m≥
1
2

(2)由(1)知,當(dāng)m≤-1時(shí),g(m)=m=-1,即m=-1符合題意;
當(dāng)-1<m<
1
2
時(shí),g(m)=--m2-m-1=-1,解得m=0或m=-1(舍去);
當(dāng)m≥
1
2
時(shí),g(m)=-2m-
3
4
=-1,解得m=
1
8
(舍去),
綜上所述,m=-1或0.
(3)當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=cos2x-2cosx=(cosx-1)2-1,
∵x∈[-
π
3
3
],
∴當(dāng)x=
3
,即cosx=-
1
2
時(shí),f(x)=cos2x-2cosx取得最大值
5
4

當(dāng)m=0時(shí),f(x)=cos2x-1=-sin2x,x∈[-
π
3
,
3
],
∴x=0時(shí),f(x)max=0.
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的最值,著重考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值,突出考查分類討論思想、方程思想、化歸思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知曲線C:y=
1
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1
x+2-n
(n∈N*)
.從C上的點(diǎn)Qn(xn,yn)作x軸的垂線,交Cn于點(diǎn)Pn,再?gòu)腜n作y軸的垂線,交C于點(diǎn)Qn+1(xn+1,yn+1).設(shè)x1=1,an=xn+1-xn,bn=yn-yn+1
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n
i=1
Si
,求證f(n)<
1
6
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