Question

已知f（x）=-sin²x+m（2cosx-1），x∈[-

π

3

，

2π

3

]
（1）如函數(shù)f（x）的最小值為g（m），求函數(shù)g（m）的解析式；
（2）當(dāng)g（m）=-1時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）在（2）的條件下求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=cos²x+2mcosx-m-1=（cosx+m）²-m²-m-1，令t=cosx（-1≤t≤1），對(duì)h（t）=（t+m）²-m²-m-1的對(duì)稱軸方程t=-m的范圍分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，即可求得函數(shù)g（m）的解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)g（m）的解析式，可求得當(dāng)g（m）=-1時(shí)，實(shí)數(shù)m的值；
（3）對(duì)（2）中求得的m=-1與m=0分別代入f（x）=cos²x+2mcosx-m-1，x∈[-

π

3

，

2π

3

]，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可求得函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答：（1）∵f（x）=cos²x+2mcosx-m-1=（cosx+m）²-m²-m-1，
令t=cosx（-1≤t≤1），
則h（t）=（t+m）²-m²-m-1，其對(duì)稱軸方程為t=-m，
∴當(dāng)m≤-1時(shí)，-m≥1，h（t）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴h（t）_min=h（1）=m，即g（m）=m（m≤-1）；
當(dāng)-1＜m＜

1

2

時(shí)，同理可得g（m）=h（-m）=--m²-m-1；
當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，g（m）=h（-

1

2

）=-2m-

3

4

．
∴g（m）=

m，m≤-1 -m2-m-1，-1＜m＜ 1 2 -2m- 3 4 ，m≥ 1 2

．
（2）由（1）知，當(dāng)m≤-1時(shí)，g（m）=m=-1，即m=-1符合題意；
當(dāng)-1＜m＜

1

2

時(shí)，g（m）=--m²-m-1=-1，解得m=0或m=-1（舍去）；
當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，g（m）=-2m-

3

4

=-1，解得m=

1

8

（舍去），
綜上所述，m=-1或0．
（3）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=cos²x-2cosx=（cosx-1）²-1，
∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴當(dāng)x=

2π

3

，即cosx=-

1

2

時(shí)，f（x）=cos²x-2cosx取得最大值

5

4

；
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=cos²x-1=-sin²x，x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴x=0時(shí)，f（x）_max=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，突出考查分類討論思想、方程思想、化歸思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．