已知函數(shù)f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，

(1)若f(x)的定義域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)a的范圍；

(2)若f(x)的值域?yàn)?/span>R，求實(shí)數(shù)a的范圍.

 

答案：
解析：

(1)若f(x)的定義域?yàn)?/span>R，則關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋1＞0的解集為R，即

，解得a＞1

(2)若f(x)的值域?yàn)?/span>R，則ax2＋2x＋1能取一切正數(shù)

∴a＝0或，解得0≤a≤1

點(diǎn)評(píng)： (1)f(x)定義域是R，求得a＞1，即a＞1時(shí)，保證f(x)定義域是R，但此時(shí)由于ax2+2x+1=a(x+)2+1－≥1－，

∴f(x)的值域是［lg(1－)，+∞］，不要誤認(rèn)為值域也是R.

(2)f(x)值域是R，意思是要求其真數(shù)ax2+2x+1的值必須取到(0，+∞)內(nèi)的每一個(gè)值，這就要求u=ax2+2x+1的最小值1－不能比零大，否則u就取不到(0，1－)內(nèi)的值.故需a=0或即0≤a≤1，這時(shí)若a=0，則f(x)定義域?yàn)?/span>(－，+∞)，若0＜a≤1，則f(x)定義域?yàn)?/span>(－∞，x1)∪(x2，+∞)，其中x1，x2為方程ax2+2x+1=0的兩根.不要誤認(rèn)為f(x)定義域是R.

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．

(1)求函數(shù)y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；

(2)當(dāng)a≥時(shí)，函數(shù)t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(diǎn)(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出所有a的值；否則，說(shuō)明理由．

(3)當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．

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已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點(diǎn)P(1，－2)，過(guò)點(diǎn)P作直線l.

(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于P的直線方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練（河北） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當(dāng)x＝時(shí)，y＝f(x)有極值．

(1)求a、b、c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

 

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已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．

(1)求a的值和切線l的方程；

(2)設(shè)曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍

 

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