Question

 已知各項均為正數的數列{}滿足（），且是，的等差中項． 

 （Ⅰ）求數列{}的通項公式；

   （Ⅱ）令=，是否存在正整數，使 時，不等式恒成立，若存在，求的值；不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．   （Ⅱ）．

【解析】（1）由，得。。數列{}是以2為公比的等比數列．根據題意可求得，（2）由（Ⅰ）及=得，。利用錯位相減法求出。要使成立，只需成立，即，，取 。

（Ⅰ）∵，

∴,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵數列{}的各項均為正數，∴，

∴，

即（），所以數列{}是以2為公比的等比數列．…………3分

∵是的等差中項，

∴，∴，∴，

∴數列{}的通項公式．……………………………………………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）及=得，， ……………………………8分

∵，

∴      1

∴   ②

②-1得，

=……………………………10分

要使成立，只需成立，即，，

使成立，取． …………13分