【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為，直線過與拋物線交于兩點(diǎn).到準(zhǔn)線的距離之和最小為8.

（1）求拋物線方程；

（2）若拋物線上一點(diǎn)縱坐標(biāo)為，直線分別交準(zhǔn)線于.求證：以為直徑的圓過焦點(diǎn).

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意及拋物線定義，可知，從而可求出拋物線方程；

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求出，的坐標(biāo)，進(jìn)而證得以為直徑的圓過焦點(diǎn)；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，并與拋物線方程聯(lián)立，

借助根與系數(shù)的關(guān)系以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，證得，從而證出以為直徑的圓過焦點(diǎn).

（1）到準(zhǔn)線的距離之和等于到焦點(diǎn)的距離之和，即為，

最小為通徑，所以，解得，

所以拋物線方程為.

（2）拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，

由點(diǎn)縱坐標(biāo)為，得，

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，

直線方程為，此時(shí)，， ，

直線：，直線：，

所以，，，

所以，圓心坐標(biāo)為，半徑，

焦點(diǎn)到圓心的距離，

此時(shí)，以為直徑的圓過焦點(diǎn).

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線，設(shè)，

，得，，，

直線為代入準(zhǔn)線得：

同理可得

，

所以，所以焦點(diǎn)在以為直徑的圓上.

綜上，以為直徑的圓過焦點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】如圖，在多面體中，已知，，，，，平面平面，為的中點(diǎn)，連接.

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)

(1)若,求的極值;

(2)若,都有成立,求k的取值范圍.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.

（1）證明：平面平面；

（2）若，為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.

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【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

（1）證明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值的絕對(duì)值.

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【題目】在極坐標(biāo)系中，圓.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，直線經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為.

求圓的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程；

已知直線與圓交與，，滿足為的中點(diǎn)，求.

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【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：為定值.

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