Question

已知⊙O′過定點(diǎn)A(0，p)(p＞0)，圓心O′在拋物線C:x²=2py上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O′在x軸上所截得的弦．

(Ⅰ)當(dāng)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|是否有變化?并證明你的結(jié)論；

(Ⅱ)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)且M、N在原點(diǎn)O的右側(cè)時(shí)，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O′是相交、相切還是相離，并說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)O′(x₀，y₀)，則=2py₀(y₀≥0)

則⊙O′的半徑|O′A|=

⊙O′的方程為(x- x₀)²+(y-y₀)²=+( y₀-p)²

令y=0，并把=2py₀代入得

x²-2x₀x+-p²=0，

解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，

∴|MN|-|x₁-x₂|=2p,

∴|MN|不變化，為定值2p．

(Ⅱ)設(shè)M、N的中點(diǎn)為B，

則|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN

又∵|OA|是|OM|與|ON|的等差中項(xiàng)，

∴|OM|+|ON|=2|OA|，

可得B(p，0)，O′(p,)

∴|O′A|=p

又∵點(diǎn)O′到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

-(-)=p＜p，

∴圓O′與拋物線C的準(zhǔn)線相交．