Question

如圖10-20，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.

圖10-20

(1)證明：AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明：面AED⊥面A₁FD₁；

 (文)(4)設(shè)AA₁＝2，求三棱錐E-AA₁F的體積V.

Answer 1

(1)；

圖10-53

(2)如圖10-53，取AB中點G，連A₁G、FG，因為F是CD中點，所以CFAD，又A₁D₁AD，

所以GFA₁D₁，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F.

設(shè)A₁G與AE交于點H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，因E是BB₁中點，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，

∠GA₁A＝∠GAH，從而∠AHA₁＝90°，即直線AE與D₁F所成角為直角.

 

(3)由(1)知AD⊥D₁F，由(2)知AE⊥D₁F，又AD∩AE＝A，所以D₁F⊥面AED，又D₁F面A₁FD₁，

所以面AED⊥面A₁FD₁.

 

(文)(4)∵體積V_E－AA1F＝V_F－AA1E

 

又FG⊥面ABB₁A₁，三棱錐F-AA₁E的高FG＝AA₁＝2，

 

面積S_△AA1E＝S_{平行四邊形ABB1A1}＝×2²＝2

 

∴V_E－AA1F＝×S_△AA1E×FG＝×2×2＝

評述：本題主要考查棱柱的概念、兩異面直線的垂直、異面直線所成的角、兩平面垂直等能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力此題中的四個小問題層層深入，由(1)的證明線線垂直到(2)中用到了線面垂直，而證得(3)中的面面垂直，最后在(4)中求體積脈絡(luò)清楚，考查立幾知識較全面注意在后一小問題中用到前面小題的結(jié)論這在立幾大題中經(jīng)常出現(xiàn)求體積過程中對三棱錐的頂點和底面作了靈活的轉(zhuǎn)換，使計算簡單，這也是求三棱錐體積的常用方法.