試證明:不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,當(dāng)n>1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí),均有:an+cn>2bn.
見解析
錯(cuò)解分析:應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立,不應(yīng)只證明一種情況.
技巧與方法:本題中使用到結(jié)論:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c為正數(shù)),從而ak+1+ck+1>ak·c+ck·a.
證明:(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列,a=,c=bq(q>0且q≠1)
∴an+cn=+bnqn=bn(
+qn)>2bn
(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c猜想>(
)n(n≥2且n∈N*)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=2時(shí),由2(a2+c2)>(a+c)2,∴
②設(shè)n=k時(shí)成立,即
則當(dāng)n=k+1時(shí), (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
(ak+ck)(a+c)
>()k·(
)=(
)k+1
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