Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察如圖程序框圖，當(dāng)k=2時(shí)，有S=8，當(dāng)k=3時(shí)，有S=15．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n，抽去數(shù)列{b_n}中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3n-2項(xiàng)，…，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,程序框圖

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由框圖a_i+1=a_i+d，可知{a_n}為等差數(shù)列．由M=a_i+a_i+1，k=2，3時(shí)即可得出．
（2）由a_n=log₂b_n，得b_n=2an=2ⁿ．由于

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2，可得b₁=2，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．可得數(shù)列{c_n}的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為4，公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為8，公比為8的等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）由框圖a_i+1=a_i+d，可知{a_n}為等差數(shù)列．
由M=a_i+a_i+1，
當(dāng)k=2時(shí)，有S=a₁+2a₂+a₃=8，①
當(dāng)k=3時(shí)，有S=a₁+2a₂+2a₃+a₄=15．②
得a₁=1，d=1，a_n=n．
（2）由a_n=log₂b_n，得b_n=2an=2ⁿ．
∵

bn+1

bn

=

2n+1

2n

=2，
∴b₁=2，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
依題意，數(shù)列{c_n}的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為4，公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為8，公比為8的等比數(shù)列．
∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k-1)

1-8

=

10

7

•2

3n+1

2

-

12

7

；
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)．
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k)

1-8

=

12

7

•2^3k-

12

7

=

12

7

•2

3n

2

-

12

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、程序框圖的性質(zhì)、分組討論求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．