已知某幾何體的直觀圖(圖1)與它的三視圖(圖2),其中俯視圖為正三角形,主視圖及左視圖是矩形.

(1)求出該幾何體的體積;

(2)是棱上的一點,若使直線,試確定點的位置,并證明你的結(jié)論;

(3)在(2)成立的條件下,求證:平面.

 



 解:由三視圖可知該幾何體為正三棱柱,底面是高為的正三角形,三棱柱的高,……………………………………………… 2分

(1)底面是高為的正三角形,易知底面邊長為2,

所以底面面積,

所求體積. …………………… 4分

(2)連接,且,因為正三棱柱側(cè)面是矩形,所以點的中點, ………… 5分

(方法一)若

連接,

所以所以的中位線,所以D為的中點.

的中點時,. ………………………………… 8分

(方法二)若為棱的中點.

連接,所以的中位線,

所以,所以.

的中點時,. ………………………………… 8分

(方法三)在中,過1,交與D,所以的中位線,所以的中點,又,

所以

的中點時,. ………………………………… 8分

(3)(方法一)在正三棱柱為正三角形,所以

又由三棱柱性質(zhì)知

平面,所以 ……………………………… 10分

所以. ………………………… 12分

(方法二)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,三角形A1B1C1為正三角形,所以B1D⊥A1C1,又因為AA1⊥平面A1B1C1,所以AA1⊥B1D. AA1A1C1=A1,AA1平面AA1D,A1 C1平面AA1D,所以B1D⊥平面AA1D,………………………………………… 10分

又B1D平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面AA1D.  ………………………… 12分


練習(xí)冊系列答案
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