Question

函數(shù)f（x）=

n

|x|+m

（m＜0，n＞0）圖象與中國(guó)漢字“囧”字相似，因此我們把函數(shù)f（x）稱之為“囧函數(shù)”．當(dāng)m=-1，n=1時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們研究如下命題：
①函數(shù)f（x）的定義域是：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；
②函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心是（-1，0）和（1，0）；
③函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)；
④函數(shù)f（x）的值域是：（-∞，-1]∪（0，+∞）；
⑤方程f（x）-x=b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則b＜-1或b＞3；
其中正確命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)m=-1，n=1時(shí)，f（x）=

n

|x|+m

=

1

|x|-1

=

1 x-1 ，x≥0且x≠1 - 1 x+1 ，x＜0且x≠-1

，作出該函數(shù)的圖象，對(duì)①②③④⑤五個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．

解答： 解：當(dāng)m=-1，n=1時(shí)，f（x）=

n

|x|+m

=

1

|x|-1

=

1 x-1 ，x≥0且x≠1 - 1 x+1 ，x＜0且x≠-1

，
對(duì)于①，由函數(shù)的解析式可知，函數(shù)f（x）的定義域是：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞），故①正確；
對(duì)于②，由圖可知，f（x）的對(duì)稱中心不是（-1，0）和（1，0）故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由圖可知，函數(shù)f（x）在（-1，1）上不單調(diào)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由圖可知，函數(shù)f（x）的值域是：（-∞，-1]∪（0，+∞），故④正確；
對(duì)于⑤，當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，f（x）=-

1

x+1

，設(shè)直線y=x+b與f（x）=-

1

x+1

（-1＜x≤0）的切點(diǎn)為P（x₀，y₀），
∵f′（x）=

1

(x+1)2

，∴k=f′（x₀）=

1

(x0+1)2

=1，解得x₀=0或x₀=-2（舍去），∴y₀=-

1

x0+1

=-1，
即切點(diǎn)為P（0，-1），又該點(diǎn)在直線y=x+b上，故b=-1，b為直線y=x+b在y軸上的截距，
∴當(dāng)b＜-1時(shí)，直線y=x+b與f（x）=

1

|x|-1

有三個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）-x=b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=-

1

x+1

，同理可得，直線y=x+b與f（x）=-

1

x+1

（x＜-1）的切點(diǎn)為P（-2，1），該點(diǎn)在直線y=x+b上，故b=3，
∴當(dāng)b＞3時(shí)，直線y=x+b與f（x）=-

1

x+1

（x＜-1）相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，與f（x）=

1

x-1

（x＞0）有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)b＞3時(shí)，直線y=x+b與f（x）=

1

|x|-1

有三個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）-x=b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；
綜上所述，方程f（x）-x=b有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則b＜-1或b＞3，故⑤正確；
綜上述，①④⑤正確，
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查“囧函數(shù)”的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性及函數(shù)的零點(diǎn)，作圖是關(guān)鍵，屬于難題．