Question

過橢圓+=1的左焦點(diǎn)F作橢圓的弦AB．如圖
（1）求此橢圓的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和橢圓的準(zhǔn)線方程（x=±）；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）由方程知 a=，b=2，故左焦點(diǎn)F（-1，0），
離心率 e==．
（2）設(shè)M（x，y），A（ x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），直線AB方程為 y=k（x+1），
由 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，
∴x₁+x₂=，因?yàn)镸是AB中點(diǎn)，有 x=，
∴x=，∴k²=，
又由 y=k（x+1）可得 y²=k²（x+1）²，∴y²= （x+1）²，
∴5y²=-4x（x+1），即 4x²+4x+5y²=0，即 4+5y²=1，
當(dāng)直線AB的斜率k不存在時(shí)，AB⊥x軸，AB中點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（-1，0），也適合上述方程，
故 4+5y²=1 為所求．
分析：（1）由方程知 a=，b=2，從而求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率的值．
（2）由 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，故 x₁+x₂=，再由中點(diǎn)公式得x=，又由 y=k（x+1）可得 4x²+4x+5y²=0，即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)軌跡方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，得到 y²= （x+1）²，是解題的關(guān)鍵．