Question

【題目】對于定義在上的函數(shù)，若存在實數(shù)及、（）使得對于任意 都有成立，則稱函數(shù)是帶狀函數(shù)；若存在最小值，則稱為帶寬.

（1）判斷函數(shù) 是不是帶狀函數(shù)？如果是，指出帶寬（不用證明）；如果不是，請說明理由；

（2）求證：函數(shù)（）是帶狀函數(shù)；

（3）求證：函數(shù)是帶狀函數(shù)的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）是，帶寬為2；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)關(guān)系，即可判定是帶狀函數(shù)；

（2）分別證明即可得證；

（3）處理絕對值，將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式，分別證明充分性和必要性.

（1）考慮兩條直線，即： ，

斷函數(shù) 是帶狀函數(shù)，帶寬為2；

（2）函數(shù)（），

當時，所以有，有，

當時，，即

所以有，所以，

綜上所述，

所以函數(shù)（）是帶狀函數(shù)；

（3）函數(shù)，

充分性：當時，，

，存在兩條直線滿足題意，即該函數(shù)為帶狀函數(shù)；

必要性：當為帶狀函數(shù)，

則存在，

假設(shè)

不妨考慮，

則直線與兩條直線中至少一條相交，所以不滿足，

所以不滿足題意.即，

綜上所述：函數(shù)是帶狀函數(shù)的充要條件是.