Question

設(shè)函數(shù)。

（1）如果，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（2）.（3）分析法

【解析】

試題分析：首先求導(dǎo)數(shù)，

討論得到當(dāng)時(shí)， ，確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）注意討論①當(dāng)時(shí)，情況特殊；②當(dāng)時(shí)，令，求駐點(diǎn)，討論時(shí)，得函數(shù)的增區(qū)間為；

根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，得出所求范圍..

（3）利用分析法，轉(zhuǎn)化成證明；

構(gòu)造函數(shù)，

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040904551715789493/SYS201404090455551735518126_DA.files/image016.png">，

當(dāng)時(shí)，

時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）①當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

②當(dāng)時(shí)，令，得，

當(dāng)時(shí)，得，函數(shù)的增區(qū)間為；

又因?yàn)椋�函�?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，，得，綜上知，.

（3）要證：只需證

只需證

設(shè)，                                     

則             11分

由（1）知：即當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，

即時(shí)，有，         12分

∴，所以，即是上的減函數(shù)，   13分

即當(dāng)，∴，故原不等式成立。         14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式.