(2011•嘉定區(qū)三模)如圖,已知橢圓
x2
2
+y2=1
的左右焦點分別為F1、F2,橢圓的下頂點為A,點P是橢圓上任意一點,,圓M是以PF2為直徑的圓.
(1)若圓M過原點O,求圓M的方程;
(2)當圓M的面積為
π
8
時,求PA所在直線的方程;
(3)寫出一個定圓的方程,使得無論點P在橢圓的什么位置,該定圓總與圓M相切.請寫出你的探究過程.
分析:(1)解法一;因為PF2為圓M的直徑,圓M過原點O,可以判斷OP⊥OF2,求出P點坐標,又因為M為PF2的中點,可求出M點坐標,以及圓的半徑,代入圓的標準方程即可.
解法二:同解法一,可判斷OP⊥OF2,則
OP
OF2
=0
,利用向量的數(shù)量積的坐標表示即可求出P點的坐標,后面同解法一.
(2)根據(jù)圓M的面積為
π
8
,求出圓半徑r,則|PF2|=r,據(jù)此可求出P點坐標,再結合A點坐標,就可得到PA所在直線的方程.
(3)兩圓若始終相切,則圓心距等于半徑之和,因為圓M的半徑為|MF2|,所以只需找到一點,是M到這點的距離等于|MF2|加上一個定值即可.
解答:解:(1)解法一:因為圓M過原點O,所以OP⊥OF2,
所以P是橢圓的端軸頂點,P的坐標是(0,1)或(0,-1),
于是點M的坐標為(
1
2
 , 
1
2
)
(
1
2
 , -
1
2
)
,
圓M的方程為(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=
1
2
(x-
1
2
)2+(y+
1
2
)2=
1
2
.  
解法二:設P(x1,y1),因為圓M過原點O,所以OP⊥OF2
所以
OP
OF2
=0
,所以x1=0,y1=±1,點P(0,±1)
于是點M的坐標為(
1
2
 , 
1
2
)
(
1
2
 , -
1
2
)
,
圓M的方程為(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=
1
2
(x-
1
2
)2+(y+
1
2
)2=
1
2
.   
(2)設圓M的半徑為r,由題意,πr2=
π
8
,r=
2
4
,所以|PF2|=
2
2

設P(x1,y1),則
(x1-1)2+
y
2
1
=
2
2
.      
聯(lián)立
(x1-1)2+
y
2
1
=
1
2
x
2
1
2
+
y
2
1
=1
,解得x1=1(x1=3舍去),
所以點P(1 , 
2
2
)
P(1 , -
2
2
)
.                      
所以kPA=1+
2
2
kPA=1-
2
2

所以直線PA的方程為y=(1+
2
2
)x-1
y=(1-
2
2
)x-1

注:直線方程也可寫成其他形式,如:(2+
2
)x-2y-2=0
(2-
2
)x-2y-2=0
等.
(3)以原點為圓心,
2
為半徑的定圓始終與圓M相內切.
定圓的方程為x2+y2=2.                  
探究過程為:設圓M的半徑為r,定圓的半徑為R,
因為|MO|=
1
2
|PF1|=
1
2
(2
2
-|PF2|)=
2
-
1
2
|PF1|=
2
-r
,
所以當原點為定圓圓心,半徑R=
2
時,定圓始終與圓M相內切.
點評:本題主要考查了圓的標準方程,以及直線與圓,圓與圓位置關系的判斷.
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x
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1
2
)
(0 , 
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)

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