Question

已知數列{a_n}滿足a₁=

3

5

，2a_n+1a_n+a_n+1=3a_n，n∈N．
（1）求證：數列{

1

an

-1}為等比數列；
（2）是否存在互不相等的正整數m，s，t，使m，s，t成等差數列，且a_m-1，a_s-1，a_t-1成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的m，s，t，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等比數列的性質,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由2a_n+1a_n+a_n+1=3a_n，變形可得

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），從而可證明數列{

1

an

-1}為等比數列；
（2）假設存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件，則有

m+t=2s (as-1)2=(am-1)(at-1)

，代入條件，利用基本不等式，即可得出結論．

解答： 解：因為2a_n+1a_n+a_n+1=3a_n，所以

1

an+1

=

1

3an

+

2

3

．
所以

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1）．
因a₁=

3

5

，則

1

a1

-1=

2

3

．
所以數列{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數列．-----------------------（4分）
（2）由（1）知，

1

an

-1=

2

3n

，所以a_n=

3n

3n+2

．----------------（6分）
假設存在互不相等的正整數m，s，t滿足條件，
則有

m+t=2s (as-1)2=(am-1)(at-1)

，
因為a_n=

3n

3n+2

，
所以(

3s

3s+2

-1)2=（

3m

3m+2

-1）（

3t

3t+2

-1）．
即3^m+t+2×3^m+2×3^t=3^2s+4×3^s．
因為m+t=2s，所以3^m+3^t=2×3^s．
因為3^m+3^t≥2

3m+t

2×3^s，當且僅當m=t時等號成立，
這與m，s，t，互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整數m，s，t，滿足條件．-------（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，假設存在，引出矛盾是關鍵．