Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（ax²+2x+3）
（1）當(dāng)a=-1時，求該函數(shù)的定義域和值域；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）如果f（x）≥1在區(qū)間[0，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=log₂（-x²+2x+3），令-x²+2x+3＞0，解得-3＜x＜1，可得函數(shù)f（x）的定義域，確定真數(shù)的范圍，可得函數(shù)f（x）的值域；
（2）由題意可得ax²+2x+1＞0恒成立，故有 a＞0，且△=4-4a＜0，由此求得a的范圍．
（3）f（x）≥1在區(qū)間[0，1]上恒成立等價(jià)于ax²+2x+1≥0在區(qū)間[0，1]上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=log₂（-x²+2x+3）．
令-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3
所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，3）．
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，2]
（2）若函數(shù)y=log₂（ax²+2x+1）的定義域?yàn)镽，∴ax²+2x+1＞0恒成立，
故有 a＞0，且△=4-12a＜0，解得 a＞

1

3

，
故所求的a的范圍為（

1

3

，+∞）．
（3）f（x）≥1在區(qū)間[0，1]上恒成立等價(jià)于ax²+2x+1≥0在區(qū)間[0，1]上恒成立，
由ax²+2x+3≥0且x∈[0，1]時，
當(dāng)x=0時，a∈R；
當(dāng)≠0時，x²＞0，得a≥-

1+2x

x2

，
令g（x）=-

1+2x

x2

，
則g′(x)=

2+2x

x2

，
又∵x∈[0，1]，故g′（x）＞0，
∴g（x）=-在x∈[0，1]是單調(diào)增函數(shù)，
故g（x）≤g（1）=-

1+2

12

=-3，
∴a≥-3．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．