Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中點．
（1）證明：PB∥平面ACE
（2）求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明OE∥PB，即可證明PB∥平面ACE；
（2）建立坐標(biāo)系，求出面EAC法向量、面BAC法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：連接BD交AC于O，可知O為BD中點，連接OE．
△PBD中，OE∥PB．
由PB?面ACE，OE?面ACE，OE∥PB，得PB∥面ACE  …4′
（2）解：建系如圖：則A（3，0，0），C（0，4，0），E（0，0，2）
∴

AC

=(-3，4，0)，

AE

=(-3，0，2)…6′
設(shè)面EAC法向量為

m

=（x，y，z），則

-3x+4y=0 -3x+2z=0

∴面EAC法向量

m

=(4，3，6)
由題知面BAC法向量

n

=(0，0，1)…8′
∵cos＜

m

，

n

＞=

6

61

=

6

61

61

…10′
∴求二面角E-AC-B的平面角的余弦值為-

6

61

61

…12′

點評：本題考查線面平行，考查平面與平面所成角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．