Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，圓O過點M（1，

3

）．
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l₁：y=mx-8與圓O相切，求m的值；
（3）過點（0，3）的直線l₂與圓O交于A、B兩點，點P在圓O上，若四邊形OAPB是菱形，求直線l₂的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）求出半徑，即可求圓O的方程；
（2）根據(jù)直線和圓相切求出圓心到直線的距離d=r，即可求m的值；
（3）設出直線l₂的方程，利用四邊形OAPB是菱形，則對角線垂直的條件即可，求直線l₂的方程．

解答： 解：（1）圓的半徑r=

1+( 3 )2

=

4

=2，
則圓O的方程為x²+y²=4；
（2）若直線l₁：y=mx-8與圓O相切，
則圓心到直線的距離d=2，
即d=

|-8|

1+m2

=

8

1+m2

=2，
解得m=±

15

；
（3）由題意可設直線l₂的方程為y=kx+3，
若四邊形OAPB是菱形，
∴OP與AB垂直平分，
故圓心O都直線l₂的距離為

1

2

|OP|=1，
即

|3|

1+k2

=1，即k²=8，解得k=±2

2

，
∴直線l₂的方程為y=±2

2

x+3．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，根據(jù)圓心到直線的距離和半徑之間的關系是解決本題的關鍵．