Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，過F₂作長軸的垂線，在第一象限和橢圓交于點H，且tan∠HF₁F₂=

3

4

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的準(zhǔn)線方程為x=±4

5

，一條過原點O的動直線l₁與橢圓交于A，B兩點，N為橢圓上滿足|NA|=|NB|的一點，試求

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

的值；
（3）設(shè)動直線l₂：y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知tan∠HF₁F₂=

b2 a

2c

=

3

4

，由此能求出橢圓離心率e=

1

2

．
（2）由已知得

a2

c

=4

5

，e=

c

a

=

1

2

，由此求橢圓方程為

x2

20

+

y2

15

=1，由|NA|=|NB|，知N在線段AB的垂直平分線上，又由橢圓的對稱性知A，B關(guān)于原點對稱，由此進行分類討論能求出

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

7

30

．（3）設(shè)b²=3t，a²=4t，橢圓的方程為3x²+4y²-12t=0，由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0，由△=0，得m²=3t+4k²t，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

解答： 解：（1）由題意知tan∠HF₁F₂=

b2 a

2c

=

b2

2ac

=

a2-c2

2ac

=

3

4

，
∴2a²-2c²-3ac=0，
∴2-2e²-3e=0，
解得e=

1

2

或e=-2（舍），
∴e=

1

2

．
（2）∵橢圓準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，
∴

a2

c

=4

5

，又由（1）知e=

c

a

=

1

2

，
且a²=b²+c²，解得a²=20，b²=15，
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

15

=1，
由|NA|=|NB|，知N在線段AB的垂直平分線上，
又由橢圓的對稱性知A，B關(guān)于原點對稱，
①若A，B在橢圓的短軸的頂點上，則點N在橢圓的長軸頂點上，
此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2（

1

a2

+

1

b2

）=

7

30

，
若A、B在橢圓的長軸頂點上，則點N在橢圓的短軸頂點上，
此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

1

a2

+

1

a2

+

2

b2

=2（

1

a2

+

1

b2

）=

7

30

，
②當(dāng)A，B，N不是橢圓頂點時，設(shè)l₁：y=kx，k≠0，A（x₁，y₁），則直線ON：y=-

1

k

x，
由

y=kx x2 20 + y2 15 =1

，解得x12=

60

4k2+3

，y12=

60k2

4k2+3

，
∴|OA|²=|OB|²=x12+y12=

60(k2+1)

4k2+3

，
用-

1

k

代替k得到|ON|²=

60(k2+1)

3k2+4

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=2×

4k2+3

60(k2+1)

+2×

3k2+4

30(k2+1)

=

7

30

，
綜上，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|ON|2

=

7

30

．
（3）∵

b2

a2

=

3

4

，設(shè)b²=3t，a²=4t，
∴橢圓的方程為3x²+4y²-12t=0，
由

3x2+4y2-12t=0 y=kx+m

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12t=0，
∵動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點P，
∴△=0，即64k²m²-4（3+4m²）（4m²-12t）=0，
整理，得m²=3t+4k²t，
設(shè)P（x₁，y₁），則x1=-

8km

2(3+4k2)

=-

4km

3+4k2

，
y1=kx1+m=

3m

3+4k2

，
∴P（-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

），又M（1，0），Q（4，4k+m），
若x軸上存在一定點M（1，0），使得PM⊥QM，
∴（1+

4km

3+4k2

，-

3m

3+4k2

）•（-3，3（4k+m））=0恒成立，
整理，得3+4k²=m²，
∴3+4k²=3t+4k²t恒成立，故t=1．
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查三條線段倒數(shù)和的求法，考查橢圓方程的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．