Question

如圖，設(shè)拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁，F(xiàn)₂為焦點，離心率e=的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）當△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時，求拋物線方程；此時設(shè)⊙C₁、⊙C₂…⊙C_n是圓心在y²=4mx（m＞0）上的一系列圓，它們的圓心縱坐標分別為a₁，a₂…a_n，已知a₁=6，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，又⊙C_k（k=1，2，…，n）都與y軸相切，且順次逐個相鄰?fù)馇�，求�?shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給的拋物線方程，寫出要用的兩個點，根據(jù)所給的離心率的值，求出橢圓的字母系數(shù)，寫出橢圓的方程．
（2）根據(jù)題意設(shè)出橢圓的方程，把橢圓的方程與拋物線的方程進行聯(lián)立，得到交點的坐標，根據(jù)三角形的三邊長度是連續(xù)的整數(shù)，求出m的值，后面是求解數(shù)列的通項的問題，對于遞推式的整理是本題的重點，得到結(jié)果．
解答：解：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
設(shè)橢圓方程為
則c=1又e=
∴a=2，b=
∴橢圓C₂方程為
（2）因為c=m，e=，
∴a=2m，b²=3m²，設(shè)橢圓方程為
由橢圓的方程與y²=4mx，得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得
代入拋物線方程得
P（）
|PF₂|=x₁+m=，|PF₁|=2a-=，|F₁F₂|=2m=，
∵△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，
∴m=3
此時拋物線方程為y²=12x
設(shè)，則由題|C_nC_n-1|=r_n+r_n-1
∴
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∴
∴
∴
即是以為公差，首項的等差數(shù)列
∴
∴
點評：本題考查解析幾何與數(shù)列的綜合題目，題目中所應(yīng)用的數(shù)列的解題思想，用到曲線與曲線之間的交點問題，本題主要考查運算，整個題目的解答過程看起來非常繁瑣，注意運算．