Question

已知向量

m

=（4

2

sin

x

2

，-4cos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，

2

cos

x

2

），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增減區(qū)間；
（Ⅱ）△ABC中，設(shè)A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）=-2

2

；
①求角A的大��；
②若b=4

2

，且c=

2

a，△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）向量

m

=（4

2

sin

x

2

，-4cos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，

2

cos

x

2

），求出f（x）=4sin（x-

π

4

）-2

2

，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解．
（2）f（A）=-2

2

∴sin（A-

π

4

）=0，解三角方程即可得到A的值．由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，a²-8

2

a+32=0，解得a的值，即可得到c的值，再由S_△ABC=

1

2

bcsinA求出面積．

解答： 解：（1）f（x）=函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
∵向量

m

=（4

2

sin

x

2

，-4cos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，

2

cos

x

2

），
∴f（x）=4

2

sin

x

2

cos

x

2

-4

2

cos²

x

2

=2

2

sinx-2

2

（1+cosx）=4sin（x-

π

4

）-2

2

求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間即求y=sin（x-

π

4

）的單調(diào)減區(qū)間
2kπ+

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈z）
得2kπ

3π

4

≤x≤2kπ+

7π

4

（k∈z）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[2kπ

3π

4

，kπ+

7π

4

]k∈z）
（2）①∵f（A）=-2

2

∴sin（A-

π

4

）=0
又∵0＜A＜π，∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

即A-

π

4

=0，A=

π

4

②由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
b=4

2

，c=

2

a，A=

π

4

得a²=32+2a²-2×4

2

×

2

a×

2

2

即a²-8

2

a+32=0，解得a=4

2

∴c=8
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4

2

×8×sin

π

4

=16

點(diǎn)評：本題運(yùn)用向量的知識考察了三角函數(shù)的性質(zhì)，解三角形等知識，綜合性較大，做題思路要清晰，但是難度不是很大．