過拋物線y2=2px(p＞0)的對稱軸上的定點M(m,0)(m＞0),作直線AB與拋物線相交于A,B兩點.

(1)試證明A,B兩點的縱坐標之積為定值;

(2)若點N是定直線l:x=－m上的任意一點,分別記直線AN,MN,BN的斜率為k1,k2,k3,試探求k1,k2,k3之間的關系,并給出證明.

證明：(1)設A(x1,y1),B(x2,y2)有y1y2=－2pm,下證之:

設直線AB的方程為:x=ty+m與y2=2px聯(lián)立得,消去x得y2－2pty－2pm=0,

由韋達定理得y1y2=－2pm.

(2)三條直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列,下證之:

設點N(－m,n),則直線AN的斜率為;

直線BN的斜率為,

∴.

又∵直線MN的斜率為

∴kAN+kBN=2kMN,即直線AN,MN,BN的斜率成等差數(shù)列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線準線上的射影為C，若
AF
=
FB
，
BA
•
BC
=48，則拋物線的方程為（　�。�
A、y2=4x
B、y2=8x
C、y2=16x
D、y2=4
2
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）上一定點P（x0，y0）（y0＞0）作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），若PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，則
y1+y2y0
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，O為拋物線的頂點．則△ABO是一個（　�。�
A、等邊三角形B、直角三角形C、不等邊銳角三角形D、鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線AB交拋物線于A，B兩點，弦AB的中點為M，過M作AB的垂直平分線交x軸于N．
（1）求證：FN=
12
AB；
（2）過A，B的拋物線的切線相交于P，求P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，直線OM、ON（O為坐標原點）分別與準線l：x=-
p
2
相交于P、Q兩點，則∠PFQ=（　　）

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