Question

動點M的坐標（x，y）在其運動過程中總滿足關系式．
（1）點M的軌跡是什么曲線？請寫出它的標準方程；
（2）已知定點T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值為1，求t的值；
（3）設直線l不經過原點O，與動點M的軌跡相交于A，B兩點，點G為線段AB的中點，直線OG與該軌跡相交于C，D兩點，若直線AB，CD，AC，AD，DB，BC的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，k₅，k₆，求證：k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，可得（x，y）到，的距離的和為6，大于兩定點間的距離，故點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，且a=3，c=，從而可求橢圓的標準方程；
（2），0≤x≤3，構造函數，配方可得，0≤x≤3，再進行分類討論，利用|MT|的最小值為1，即可求t的值；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，設C（x₃，y₃），則D（-x₃，-y₃）
根據點在橢圓上，利用點差法，即可證得結論．
解答：（1）解：∵．
∴（x，y）到，的距離的和為6，大于兩定點間的距離
∴點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，且a=3，c=
∴b²=4
∴橢圓的標準方程為：
（2）解：，0≤x≤3
記，0≤x≤3
①當，即時，，
又，∴，解得，而，故舍去
②當，即時，，
又，∴t²-6t+9=1，解得t=2或t=4，而，故舍去
又，故t=2符合題意；綜上可知，t=2
（3）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
由
∴，
設C（x₃，y₃），則D（-x₃，-y₃）
由，
∴，
同理，
∴k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆
點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查分類討論的數學思想，考查配方法求函數的最值，考查點差法的運用，解題的關鍵是正確分類，合理運用點差法．