Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，函數f（x）在R上有三個零點，且1是其中一個零點．
（1）b的值為

 

；
（2）f（2）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數零點的判定定理

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出導函數，據已知條件中函數的單調性，判斷出x=0是一個極值點，將x=0代入導函數得到函數值為0，求出b的值．
（2）將b的值代入f（x）中，將x=1代入得到a，c的關系，求出導函數的兩個根即函數的兩個極值點，利用函數的單調性，判斷出極值點與單調區(qū)間的關系，列出不等式求出f（2）的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，
∴當x=0時，f（x）取到極小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c
∵1是函數f（x）的一個零點，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x²+2ax=0的兩個根分別為0和

2

3

a，
又∵f（x）在（0，1）上是增函數，且函數f（x）在R上有三個零點，
∴

2a

3

＞1，即a＞

3

2

，
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞-

5

2

，
故f（2）的取值范圍（-

5

2

，+∞）．
故答案為：0，（-

5

2

，+∞）．

點評：函數在極值點處的導函數為0是函數有極值的必要條件；極值點左右兩邊的導函數符號還必須相反．