Question

【題目】已知函數(shù)，，

（1）求的解析式；

（2）關(guān)于的不等式的解集為一切實數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）關(guān)于的不等式的解集中的正整數(shù)解恰有個，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的解析式進行化簡，即可求解；

（2）由（1）化簡，并分離參數(shù)，利用換元法，構(gòu)造法求出函數(shù)的最值，即可求解；

（3）由（1）化簡，結(jié)合條件將不等式化為，利用函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，，則，

所以函數(shù)的解析式；

（2）由（1）和，可得，

即的解集為，

設(shè)，則，即，

又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當時，函數(shù)的最小值為，則，

即實數(shù)的取值范圍是.

（3）由（1）和，可得，

因為不等式的解集中正整數(shù)解恰好由3個，

所以當時，有，

若，則該不等式在上恒成立，與題設(shè)矛盾.

故，所以，

設(shè)不等式的解集為，

又由函數(shù)的性質(zhì)和條件，

可得，所以，

解得，即實數(shù)的取值范圍是.