Question

如圖，橢圓的中心為原點0，離心率e=，一條準線的方程是x=2
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設動點P滿足：=+2，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為-，
問：是否存在定點F，使得|PF|與點P到直線l：x=2的距離之比為定值；若存在，求F的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由題意得 =，==2，解出a、b 的值，即得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設動點P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）． 由向量間的關系得到 x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，據M、N是橢圓上的點可得 x²+2y²=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．再根據直線OM與ON的斜率之積為-，得到點P是橢圓 x²+2y²=20 上的點，根據橢圓的第二定義，存在點F（，0），滿足條件．
解答：解：（Ⅰ） 由題意得 =，==2，∴a=2，b=，
故橢圓的標準方程  +=1．
（Ⅱ）設動點P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）．∵動點P滿足：=+2，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂  ），∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M、N是橢圓上的點，∴x₁²+2y₁²-4=0，x₂²+2y₂²-4=0．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）．
∵直線OM與ON的斜率之積為-，∴•=-，∴x²+2y²=20，
故點P是橢圓  =1 上的點，焦點F（，0），準線l：x=2，離心率為，
根據橢圓的第二定義，|PF|與點P到直線l：x=2的距離之比為定值，
故存在點F（，0），滿足|PF|與點P到直線l：x=2的距離之比為定值．
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，兩個向量坐標形式的運算，以及橢圓的第二定義．