【題目】已知函數(shù),
.
(1)當時,若直線
是函數(shù)
的圖象的切線,求
的最小值;
(2)設(shè)函數(shù),若
在
上存在極值,求
的取值范圍,并判斷極值的正負.
【答案】(1);(2)當
時,
在
上存在極值,且極值都為正數(shù).
【解析】
(1) 設(shè)切點坐標為,求得切線的方程,由直線
是函數(shù)
的圖象的切線,得到
,
,求得
,利用導(dǎo)數(shù)即可求得
的最小值.
(2)求出
的導(dǎo)數(shù)
,令
,若
在
上存在極值,則
或
,分類討論,分別構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系,即可求得
的取值范圍.
(1)設(shè)切點坐標為,
,
切線斜率,又
,
,
令,
,
解得
,解
得
,
在
上遞減,在
上遞增.
,
的最小值為
.
(2),
.
.
設(shè),則
.
由,得
.
當時,
,當
時,
.
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
且,
,
.
顯然.
結(jié)合函數(shù)圖象可知,若在
上存在極值,
則或
(�。┊�,即
時,
則必定,
,使得
,且
.
當變化時,
,
,
的變化情況如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ |
∴當時,
在
上的極值為
,
,且
.
.
設(shè),其中
,
.
,
在
上單調(diào)遞增,
,當且僅當
時取等號.
,
.
∴當時,
在
上的極值
.
(ⅱ)當,即
時,
則必定,使得
.
易知在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
此時,在
上的極大值是
,且
.
∴當時,
在
上的極值為正數(shù).
綜上所述:當時,
在
上存在極值,且極值都為正數(shù).
注:也可由,得
.令
后再研究
在
上的極值問題.若只求
的范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實數(shù)
的最大值
;
(2)在(1)成立的條件下,正實數(shù),
滿足
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S9=81,a3+a5=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=,若{bn}的前n項和為Tn,證明:Tn<
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是( )
A.是
的極大值點
B.函數(shù)有且只有1個零點
C.存在正實數(shù),使得
恒成立
D.對任意兩個正實數(shù),
,且
,若
,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù);②
的最大值為
;
③在
有
個零點;④
在區(qū)間
單調(diào)遞增.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為
.
(1)求C的普通方程和l的傾斜角;
(2)設(shè)點,l和C交于A,B兩點,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(Ⅰ)若,解不等式
;
(Ⅱ)當時,函數(shù)
的最小值為
,求實數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動:對首次消費的顧客,按/次收費,并注冊成為會員,對會員逐次消費給予相應(yīng)優(yōu)惠,標準如下:
消費次第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
|
收費比率 |
該公司注冊的會員中沒有消費超過次的,從注冊的會員中,隨機抽取了100位進行統(tǒng)計,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
消費次數(shù) |
|
|
|
|
|
人數(shù) |
假設(shè)汽車美容一次,公司成本為元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)某會員僅消費兩次,求這兩次消費中,公司獲得的平均利潤;
(2)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,設(shè)該公司為一位會員服務(wù)的平均利潤為元,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為梯形,AB//CD,
,AB=AD=2CD=2,△ADP為等邊三角形.
(1)當PB長為多少時,平面平面ABCD?并說明理由;
(2)若二面角大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
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