Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

．當n≥2時，3a_n+1=4a_n-a_n-1（n∈N^*）
（1）證明：{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=n•a_n，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）將已知的遞推關系變形，利用等比數(shù)列的定義，證得數(shù)列{a_n+1-a_n}成等比數(shù)列．
（2）利用等比數(shù)列的通項公式求出a_n+1-a_n=

2

9

（

1

3

）^n-1，利用累加可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）利用分組求和，以及錯位相消的方法可求出{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）由題意，當n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1?3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以an+1-an=

1

3

(an-an-1)，
所以{an+1-an}是以a2-a1=

2

9

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0
累加得an-a1=1-(

1

3

)n，得an=1-(

1

3

)n
（3）bn=n-

n

3n

Sn=(1-

1

3

)+(2-

2

32

)+…+(n-

n

3n

)
=(1+2+…+n)-(

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

)=-

3

4

+

2n+3

4•3n

+

n(n+1)

2

點評：本題考查證明數(shù)列是等比數(shù)列常用數(shù)列的方法：是定義法與等比中項的方法；注意構造新數(shù)列是求數(shù)列的通項的常用的方法．